价格波动率有没有准确的表达式？

$z_{t}$ 关于implied volatility前面几位已经说得很清楚了。这里补充一下历史波动率。前面几楼的估计方法都默认过去各个时间点上的收益率对当前波动率的权重也就是贡献相同（equally weighted), 在实际中这往往不太现实，由于供求关系，市场环境，经济周期以及各种基本和技术层面的因素，波动率在不同时间区间往往会发生变化(regime switch), 很难想象1年前和1天前的收益率对估计波动率会有相同的影响。所以实际应用中往往需要对不同历史时刻的收益率施加不同的权重，这就有了一些更加复杂的波动率模型，如
1) EWMA (Equally Weighted Moving Aveage)

$\sigma _{t}^{2} = \lambda \sigma_{t-1}^{2} + (1-\lambda) r_{t-1}^2$

其中 $\lambda$ 一般取为0.94 左右。可以证明这样的模型使得历史收益率对波动率的影响随着过去距离今天的时间差而指数递减。
2) GARCH (General Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model) $\sigma_{t}^{2}=\omega + \sum_{i=1}^{q} \alpha_{i}\epsilon_{t-i}^{2} + \sum_{j=1}^{p} \beta_{j} \sigma_{t-j}^{2}$
其中 $\epsilon_{t}=\sigma_{t} z_{t}$ 为收益率的残差（residual), 即收益率除去均值后的部分（如均值为零可近似看作收益率本身）. $z_{t}$ 为一强白噪声过程，可取为标准高斯分布。
常用的模型为GARCH(1,1), 也就是p=q=1. 上面的EWMA是GARCH(1,1) 在 $\beta_{1}=\lambda, \alpha_{1}=1-\lambda,\omega=0$ 时的特例。GARCH模型的一个优点在于它保证了当系数满足一定条件时波动率具有 mean reversion 的性质，也就是长期波动率存在一个稳定值。对GARCH(1,1), 这个值就是 $\frac{\omega}{1-\alpha_{1} - \beta_{1}}$ , 条件是 $\alpha_{1}+\beta_{1}<1$ . 此外还可以证明波动率满足GARCH模型的资产收益分布具有比常值波动率的高斯分布收益率更加厚的峰度（即heavy tail).