理论力学——拉格朗日力学

如果要说物理专业和非物理专业对物理理解的区别，大概就是从这里开始的。事实上，理论力学是现代物理的基石，它的思想对物理的影响是非常深远的。但是，它并不如一般人听说过的物理那样直观，甚至它的很多含义至今我也不敢保证完全能够理解并讲清楚。本文我还是会按照朗道的方式展开，不会如一些本科教学一样为了妥协学生的理解程度而颠倒主次。

先从推荐用书开始。

1.Landau《Mechanics》不用多说，朗道这本小册子是当之无愧的经典。言简意赅，醍醐灌顶。我当时是用这一本入门的，时至今日我仍能回想起第一次接触理论力学时感受到的震撼。

2.Goldstein《Classical Mechanics》这本书我买来做参考，但是没怎么看过。的确，讲得比朗道全面而且细，对于朗道没怎么提的耗散和场也都有所涉及，讲法似乎也比朗道现代一点。不过，没有朗道那本大胆。

理论力学主要由2个等价的理论构成：拉格朗日力学与哈密顿力学。

首先，有一些需要理清的共通概念。当我们描述一个系统随时间的变化时，我们往往需要用一些参量来标记系统的状态。如果我们知道了某时刻系统所处的状态，动力学方程会确定地给出系统状态随时间的演化（注意：这在量子力学中也是对的）。比如，描述粒子运动，我们要用位置坐标和速度来标记它的状态；描述电磁场，我们需要知道电势和磁矢势；描述刚体运动，我们需要知道质心的位置与速度，角方向与角速度。这些参量中，有时候一部分只是另一部分对于时间的导数。我们通常将不是导数的那一部分，称作广义坐标（ $q$ ），它们的导数称作广义速度（ $\dot{q}$ ）。广义坐标的个数，称作自由度。比如，单粒子运动的自由度是3，N个粒子运动的自由度是3N，刚体运动的自由度是6，经典场运动的自由度是不可数无穷（空间上的每一个点都是一个自由度）。所有可能的 $(q,\dot{q})$ 集合，称为相空间。

拉格朗日力学最基本的原理，称为最小作用量原理（Least Action Principle）。它假定有一个作用量Action，它是一个关于运动“轨迹”的泛函： $S[q]$ 。泛函是说，对于给定的广义坐标随时间的关系 $q(t)$ ，我们能通过特定的方法计算出一个实数 $S[q]$ 与这个轨迹对应。最小作用量原理则是说，真实的运动 $q(t)$ 使得泛函 $S[q]$ 达到它的极小。

而关于这个泛函 $S[q]$ ，我们总是假定它可以写成某个关于坐标的函数对时间（或关于场的函数对时空）的积分：

$S[q]=\int L(q,\dot{q},t)\,\mathrm{d}t$ $S[q]=\int \mathcal{L}(f,\partial_if,x_i)\,\mathrm{d}^4x$

其中，函数 $L(q,\dot{q},t)$ 称为拉格朗日量， $\mathcal{L}(f,\partial_if,x_i)$ 称为拉格朗日密度。

那么拉格朗日量/密度是什么？这并没有特别的规定。一般对于拉格朗日量只有几点要求：首先它要是一个标量，即无论坐标系如何旋转，甚至洛伦茨变换都不应该改变它，而且系统总的拉格朗日量等于各部分的和；其次，因为我们关心的是作用量的函数形式本身，作用量可以相差一个常数（就好像势能零点可以随意取一样），因而拉格朗日量可以相差一个函数对时间的全微分；最后，拉格朗日量只与一阶导数有关，因为大量实践告诉我们知道位置和速度就已经足够描述所有运动了。除此以外，拉格朗日量是任意给定的。

嗯，一般人看到这里应该早就晕了，因为这和大家从高中开始接触的牛顿力学完全不沾边，并不直观。其实可以这样理解，既然要用数学来处理现实问题，怎样将想要研究的东西抽象出来，与相应的数学结构相联系，是很重要的问题。牛顿力学实际上是非常直接的做法，即将粒子的运动状态抽象为坐标和速度之后，直接去寻找运动时这些量满足的规律。而理论力学，可以说是力学的力学，它先不管坐标和速度满足什么样的规律，而是将一种规律和函数空间中的一个函数（拉格朗日量）对应起来，使得我们可以用同一的框架去研究不同规律，研究不同的力学。所以实际上，有了最小作用量原理之后，只要给定一个拉格朗日量，就产生出一种力学。牛顿力学只不过是拉格朗日力学中的一个例子。对于接触过C++的同学，可以这样理解：

class 拉格朗日力学
{
public:
    double Action(double InitialTime, double FinalTime)
    {
        return Integrate(Lagrangian, InitialTime, FinalTime);
    }
    virtual double Lagrangian(vector<double> Coordinates, vector<double> Velocity, double Time);
};

class 牛顿力学 : public 拉格朗日力学
{
public:
    double Lagrangian(vector<double> Coordinates, vector<double> Velocity, double Time)
    {
        return Mass*DotProduction(Velocity,Velocity)/2;
    }
};

嗯，就是说拉格朗日力学是一个抽象类，当给定了具体的描述方式和拉格朗日量后，这个派生类才是一个力学（比如牛顿力学）。

那么我们怎么得到具体的力学的运动方程呢？用变分法。思想还是和微积分求极值很像：给轨迹一个扰动，相应拉格朗日量和作用量都有可能改变。如果对于这个扰动作用量的改变等于0，那么意味着在这个轨迹附近作用量达到了极大或极小，这和函数出现一个峰值或谷值的情形是类似的。结论就是欧拉-拉格朗日方程：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$
$\sum_i\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_if)}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial f}=0$

不过我们不知道按这个方程给出的是极小还是极大。有趣的是虽然最小作用量原理中要求极小，但实际上一般书籍中都很少去关心是不是真的极小，而把欧拉-拉格朗日方程给出的轨迹就直接当做运动方程。这里我没有仔细考虑过这个问题，只是如果想知道欧拉-拉格朗日方程给出的是极大还是极小，只需要再做一次变分，考察二阶变分的符号即可。这和判断函数的极大或极小是类似的。

作为例子，朗道给了一种“推导”牛顿力学的方法，可以感受一下物理中怎么凑一个拉格朗日量：考虑一个自由运动的粒子，因为参考系的具体选取不影响粒子的运动，所以拉格朗日量不能含坐标本身，只能包含速度。又因为拉格朗日量不含坐标， $\partial L/\partial x=0$ ，根据欧拉-拉格朗日方程， $\partial L/\partial v$ 是一个常数，所以 $v$ 是一个常数，即自由运动的粒子只做匀速直线运动。而因为空间各个方向没什么区别，所以粒子运动只能与速度的大小或 $v^2$ 有关。