有哪些反直觉的物理现象？

最速降线问题（Brachistochrone）

问题描述：在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点 $A$ 以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于 $A$ 的 $B$ ，怎样的曲线能令所需的时间最短呢？这就是最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。

答案：这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。(我第一次看到这个问题的时候，直觉里觉得答案应该是以水平距离和垂直距离为半轴的椭圆的四分之一)

约翰·伯努利的证明:

费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理，通过假设光在光速以恒定竖直加速度（也就是重力加速度 $g$ ）加速的介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。
运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足：
$v=\sqrt{2gy},$

式中 $y$ 表示物体在竖直方向上下落的距离。通过机械能守恒可知，经不同的曲线下落，物体的速度与水平方向的位移无关。
约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数：
$\frac{\sin{\theta}}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m},$

式中 $v_{m}$ 为常数， $\theta$ 为轨迹与竖直方向的夹角， $dx$ 为水平方向路径微分， $ds$ 为运动方向路径微分。

通过上述方程，我们可以得到两条结论：

在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。

当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。

为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标 $(x,y)$ ，且当下落了竖直距离 $D$ 后达到了最大速度，则：
$v_m=\sqrt{2gD}.$

整理折射定律式中的各项并平方得到：
$v_{m}^{2} \left( dx \right) ^{2}=v^{2} \left(ds\right)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})$

可以解得 $dx$ 对 $dy$ 有：
$dx=\frac{v dy}{\sqrt{v_m^2-v^2}}.$

代入 $v$ 和 $v_{m}$ 的表达式得到：
$dx=\sqrt{y\over(D-y)} dy$

这是一个由直径为 $D$ 的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。

等时降线(tautochrone curve或isochrone curve)

问题描述：在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在连接 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 点高于 $B$ 点）的特定圆弧任意一点以速度为零开始，到达 $B$ 点的时间均相等。

答案：该特定圆弧的解是摆线，而下滑所需的时间与摆线绕转圆的半径平方根成正比，与重力场强度的平方根成反比。

证明：

将质点放在一曲线上，则质点下滑的时间与最低点和释放点之间的长度无关。简谐运动也具有类似的性质。如果一个质点只受到一个定点方向，与两点间距离成正比的力作用，则此物体自由释放后将会做简谐运动，且无论释放点的位置，此质点作简谐运动的周期皆相同。故我们可以假设在等时降线上运动的物体与作简谐运动的物体有相似的行为，即
$\frac{d^{2}s}{dt^{2}} = -k^{2}s$

其中 $s$ 为最低点与质点之间的弧长。假定释放时 $t=0$ ，我们可解得：
$s=s_{0}cos kt$

$s_{0}$ 为最低点与释放点之间的弧长，而在最低点时 $s=0$ ，故下滑所需的时间有：
$kt_{0}=\frac{\pi}{2},\Rightarrow t_{0}=\frac{\pi}{2k}$

而一个沿斜面自有下滑的物体，其加速度为：
$\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=g sin \theta$

其中 $\theta$ 为曲线与水平面之间的夹角，综合上述得：
$-k^{2}s=g sin \theta$

所以 $s$ 对 $\theta$ 的变化率有：
$-k^{2}\frac{ds}{d\theta}=g cos \theta$
$d=-\frac{g}{k^{2}}d\theta$

所以有：
$dx=cos \theta ds = -\frac {g}{k^{2}}cos^{2}\theta d\theta = -\frac{g}{2k^{2}}(1+ cos 2\theta)d\theta$
$x=\int_{}^{} \left[ -\frac{g}{2k^{2}}(1+cos 2\theta)d \theta \right] =-\frac{g}{4k^{2}}(2\theta + sin 2\theta)+x_{0}$

以及：
$dy=sin \theta ds = -\frac {g}{k^{2}}sin\theta cos \theta d\theta = -\frac{g}{2k^{2}}sin 2\theta d\theta$
$y=\int_{}^{}(-\frac{g}{2k^{2}}sin2\theta d\theta)=\frac{g}{4k^{2}}cos 2 \theta +y_{0}$

我们假设 $\phi = -2 \theta$ 以及 $r=\frac{g}{4k^{2}}$ ，得：
$x=r(\phi + sin \phi ) + x_{0}$
$y=r cos \phi + y_{0}$

此方程即为一标准摆线方程，且绕转圆的半径为 $\frac{g}{4k^{2}}$ 。

摆线：一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线。

参数方程：
$x=r(t-sin t)$
$y=r(1-cos t)$

笛卡尔坐标方程（直角坐标系）：
$x=r cos^{-1}(1-\frac{y}{r})-\sqrt{y(2r-y)}$

微分方程：
$\left( \frac{dy}{dx} \right)^{2}=\frac{2r-y}{y}$

摆线的性质：
1．它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于 $\pi$ 的有理数。
2．在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。
3．圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。
4．当物体从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部（等时降线）。