很高兴看到一个我感兴趣的问题，很想详细说说自己的理解，抛砖引玉相互指导。先放一本书，可能会reference到。就是Brigo Damiano的 Funding Value Adjustment。 如果要说FVA，估计得先从CVA DVA开始说吧？

08年信贷危机后各大金融机构甚至非金融的机构也开始显现出明显的信用风险了。也开始不得不考虑他们的违约风险。违什么约呢？我们假设我们从GS那签了个vanilla interest rate swap, pay fix quarterly and receive 3M Libor.

这种合约在initiate的时候都是fair的，即对双方合约价值为0。深入一点的话，你pay的那个fix rate是一个令此合约对双方fair的rate，使fix coupon 的PV等于float coupon的PV。但是过了一天后，突然Libor大涨，这张合约的价值就不一样了，而且是对于你有利。因为Libor涨了，所以你作为floating rate的recieve 方，未来cash flow的PV就高于昨天的PV。所以这张合约现在对你来说是个资产，而对于你的对手（counterparty）来说就是一个负债。这时你就不得不担心对手的违约风险。而如何把这个对手违约的风险量化为一个数字以衡量我需要承担的信用风险价值几许呢？这时我们就引入了Credit Value Adjustment（CVA）。它可以被表达为一下这条式子。

CVA=E_t^Q[ (1-R) \times D(t,\tau) 1_{\tau<T} max{E_{\tau}^Q[V(\tau,T)],0}]
where,
E_{\tau}^Q[V(\tau,T)]代表对手违约时合约的价值，
1_{\tau<T} 是对手违约的indicator function，
(1-R) 代表出去违约时不能recover的部分。

其实CVA代表的就是直到合约到期前，如果对手违约，损失的期望值。如果作为投资者，你知道了CVA，你就会对GS说“哥们，麻烦把CVA这么多钱给我吧，由于你可能违约，算上这部分这才公平。”

当然，对方也不是傻子。你怕我逃我就不怕你逃吗？万一明天Libor跌了，你跑了，怎么办？所以，GS也会根据你的信用情况，计算你的CVA，式子和上面一样。而这里所说的CVA，是站在你的对手方而言的。若从你的角度出发，这部分CVA，就叫做Debit Value Adjustment（DVA）。即自己对于自己可能违约而作出的价格调整。
DVA=E_t^Q[ (1-R) \times D(t,\tau) 1_{\tau<T} min{E_{\tau}^Q[V(\tau,T)],0}]
（注意是负的）
而此时，一个完整的，经过双方信用价值调整的价格才是买卖双方都会同意的价格（如果你们俩都自己和对方违约风险的评估一致，即算出一样的CVA DVA）。

此时的资产价值=无信用风险时的资产价值-CVA-DVA。
（有些书上写的是+DVA。其实是一致的，因为我这里给出的DVA是负数）注意到没？如果你手头上有一资产，而突然间你自己的违约风险大增，就会让这个资产的价格上涨。而在accounting的角度，这部分就会account for a profit了。这就是所谓的DVA gain。是不是感觉有点contradictory？

现在开始引入FVA。假设我们现在关注的是一个欧式齐全。先不考虑CVA，DVA。在BS model 下，他的价格服从PDE：

&\frac{\partial V }{\partial t} + (r-d)S_t \frac{\partial V}{\partial S_t} + \frac{1}{2}\sigma^2_iS_t^2 \frac{\partial^2 V }{\partial S_t^2}- rV =0,

这条PDE，是从replicating portfolio （或者是 Delta Hedge）推导出来的。而最基本的假设是，投资者可以以无风险利率借贷，这里就是关键了。银行现在不可能假设自己可以用无风险利率借贷了，因为违约风险很明显了。跟觉每个银行的违约风险不同，其借到钱难度和cost都不一样。

如果有意个投资者到了投行里说要买一个option，银行就要考虑自己replicate这个option的成本有多高。例如replicate一个put option需要short stock 和 long cash。 而long cash就牵涉到trader得从银行内部的funding desk融资，可以简化地看成 $r_f$+ credit spread。 short stock还好，可以假设在repo market进行，所以其成本近似与无风险利率$r_{repo} \approx r_f$. 现在应该可以看出为什么说FVA是一个cost。 如果银行违约风险高，融资成本就高，卖的衍生品价格就会相对贵，越来越没有竞争优势了。

相应的，这个option就不服从传统的BS-PDE了。而是一条夹杂者funding rate和repo market rate的PDE。（原本想把这条PDE写上来，但是我已经有段时间没看这块了，需要时间复习一下才敢方上来。所以这里干脆忽略了，只讲讲intuition。）

（好吧，找到了。这是一条加入了 CVA DVA FVA 的 PDE。 推导过程是用Repo Market上tradable的 公司A B 的债券和 underlying做对冲）
&\frac{\partial V }{\partial t} + (r-d)S_t \frac{\partial V}{\partial S_t} + \frac{1}{2}\sigma^2_iS_t^2 \frac{\partial^2 V }{\partial S_t^2} +\lambda_A(V^+ + R_AV^-) +\lambda_B( R_BV^+ + V^-) -(r_f+\lambda_A+\lambda_B)V

+\Delta r^{S}_{repo}S_t\frac{\partial V}{\partial S_t}-(r-1/h r^{D}_{repo})(1-R_B)V^+ S_B' (-V+(1-R_A)V^-)+\Delta SB(-V+(1-R_A)V^-)^-=0,

where (参数请允许我详细再看一次我的notes后再解释)。

简单的说就是把自己的融资成本算到衍生品的价格上。这就出现问题了，即100个投行有100个价格。那么到底应该不应该把融资成本算到价格里面去呢？就这个问题，有过一番争论。业界已经是习惯把自己的融资成本算在衍生品价格上了，但是John Hull曾经认为不应该把这部分cost算进去，因为不符合一价定律。而有更多的paper指出应该算进去，这里就不一一给出reference了。 有兴趣的可以google一下关键字“is it funding value afjustment realy a cost?”.

有一点需要指出，FVA有点像DVA，它们都反映了一个公司的credit。但是FVA更多的是表示公司的融资成本或liquidity risk。在某中情况下，当funding disk 的 funding rate=riskfree+credit spread时（通常大于），上面那条包含CVA DVA FVA 的PDE 中，FVA 和 DVA 的两项会正好cancel了。（翻自己的note时看到了这句话，但是没细看之前的推导了）

我们现在已经看到FVA的重要影响了。他几乎颠覆了传统的资产定价原理。而在某些情况下，衡量FVA会变得异常的复杂，例如存在collateral的协议时，需要考虑用于抵押的资产是否可以用于再投资，抵押品的清算多久进行一次，最少抵押单位是多少之类的问题。Perfect collateral的情况下，FVA就类似与楼上steven li写的那样，就不赘述了。

当把抵押，抵押品再投资等情况考虑上的时候，衍生品所服从的PDE将会是一条recursive的PDE, which take a long time to solve.

还有一点点不知到是题外还是题内的话。 在计算FVA时，我开头推荐的那本书里有些formula的expectation是在physical measure而不是neutral下计算的。但是有一次那本书的作者 Brigo Damiano来我们学校参加seminar。我就问这种情况怎么计算，他居然说:“they dont mind it”
(=。= ) 由此可知，FVA到现在还是一个大概是那样又很难说得清楚明白的事。

（原本几天前看到这个问题就想找几个小时好好坐下来写回答，结果还是分了几天写。可能不连贯，不到位，先发上来，容后修改。）

— 完 —

本文作者：李望

【知乎日报】
你都看到这啦，快来点我嘛 Σ(▼□▼メ)

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