咦，这么经典的经典力学问题居然没人来说？没有人讲orbital dynamics？绕地球和月球转大家也都说了，我从更理论的角度来讲讲从地球到月球的轨迹吧。有人提到了曲率，但是说得很不完整。

先放张图，今天的课上完之后来讲讲怎么样能够最省燃料地从地球到另一个星球
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来更新了。这个要用经典力学(classical mechanics) 里的哈密顿力学(Hamilton Principle) 来解释。大家熟知的牛顿力学F=ma在这里用会比较捉急。

要想把飞行器发射出去，就算钱足够也不能简单粗暴地直接飞过去。最重要的问题是重量。你需要驱动飞行器的时间越长，你需要携带的燃料越多，你的重量就越大，你就需要携带更多的燃料。。。所以想办法用尽量少的燃料来达到目标是最合算的。而从一个星球到另一个星球最省燃料的方法叫Hohmann Transfer。简单来说就是利用星球之间的引力场走椭圆形。

我们来看图，以从地球到火星为例

飞船从地球到月球的航行会走怎样的轨道路径？为什么如此选择？插图

一开始飞行器和地球一样绕太阳公转。然后我们稍稍加一下力，让飞船以椭圆形轨道逐渐趋紧火星的公转轨道（这中间不需要推进），然后再点火修改轨道，让飞行器进入火星轨道并着陆。

这个方法最关键的地方就是整个从地球轨道到火星轨道的过程中完全不需要推进。飞船完全是在太阳的引力场作用下运动的。

我们可以把整个系统简单地想象成一个只有太阳和飞行器的中心力问题(central force problem)。
通过应用哈密顿力学，飞行器的轨迹可以表示为
\frac{\alpha }{r}=1+cos(\theta )
其中m是飞行器的质量，M是太阳的质量
而
\alpha =\frac{L_{z} }{mGMm}

\varepsilon = \sqrt{1+\frac{2E L_{z}^{2} }{k^{2}m} }

是两个跟能量和角动量有关的常数

\varepsilon 在这里就是曲率，曲率不同代表的轨迹也不同，如下图

飞船从地球到月球的航行会走怎样的轨道路径？为什么如此选择？插图5

所以当我们改变一个2-body system的能量和角动量的话，他们之间的轨迹可以是圆形，椭圆形，抛物线或者双曲线。

当飞行器绕地球旋转的时候，可以说\varepsilon =0大致成立（根据开普勒定律，地球也是椭圆形的轨迹，不过这里我们只是简单的计算）。我们可以求出这时飞船的速度v_{1} = \sqrt{\frac{k}{m r_{Earth} } }
我们需要把飞行器从以太阳为中心的圆形轨道修正到以太阳为焦点的椭圆形轨道，所以要改变它的角动量和能量。

回头看第一张图，我们可以发现，我们知道这个椭圆从焦点（太阳的位置）到轨道最短的距离就是地球公转的半径，而最长距离是火星公转的半径。这两个信息就足够求出来我们需要给飞船加到多少速度了。
v_{2}=\sqrt{\frac{r_{2}}{r_{2} r_{1}} } \sqrt{\frac{2k}{m r_{Earth}}}
所以我们只需要把飞船从v1加速度到v2的燃料，就可以坐下来喝杯茶，等着飞船靠近火星轨道了。

把飞船并入火星轨道也是同样的步骤。就不提了。

把飞船从地球送到月球用同样的计算方法和模型，只不过这次我们是以地球为圆心以及椭圆形轨道的焦点来计算。

如果感兴趣的话可以去看 Stephen Thornton & Jerry Marion 的 Classical Dynamics of Particles and Systems 5th Edition的第八章。

图也都引用自这本书。

— 完 —

本文作者：张雩

【知乎日报】
你都看到这啦，快来点我嘛 Σ(▼□▼メ)

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