如何求出正态分布的尾部期望？

经常用类似的题目来面试我们部门的应聘者。这个问题其实没有那么复杂，可以直接积分求解。
设 $N(x)$ 和 $n(x)$ 分别为正态分布的累积分布函数和密度分布函数。
要求的是
$E\left[ X | X < N^{-1} (\alpha) \right]$
利用 $x n(x) dx = -d n(x)$ (这个很容易验证），可以得到
$E\left[ X | X < N^{-1} (\alpha) \right] =\frac{1}{\alpha} \int_{-\infty }^{\alpha} x n(x) dx = -\frac{1}{\alpha} \int_{-\infty }^{\alpha} d n(x)=-\frac{1}{\alpha} n\left(N^{-1}(\alpha)\right)$
这就是答案。通过这个公式可以可容易的对不同的 $\alpha$ 通过Excel等计算出数值。
比如当 $\alpha=0.258$ 时，可求得 $E\left[ X | X < N^{-1} (\alpha) \right] =-2.326$ , 很接近 $N(0.01)$ 的数值。这个结论在金融风险分析中很常用到。因为这说明当风险分布接近正态时可以用2.58%的tail average去计算1%的value at risk. 这在观测数据量不足的时候非常有用，因为比起直接求percentile, 尾部期望更有效的利用了数据, 估值更稳定。风险管理中常用的一个近似是从264天（一年的交易天数)的历史观测值取最小的7个值求平均计算1%VaR就是利用了这个性质。