想深入了解CML和SML,我们首先得先知道它们是怎么来的。故此文先对其来源进行说明,再回答此题。结论将摆在后方。

  • 来源篇:

CML (Capital Market Line):
假设这个世界有且仅有两种风险资产(资产1、资产2),各自的期望收益率、各自的风险及相关系数你都已知。当然,你可以得到所有可能投资方式的期望收益和方差。以期望收益为纵坐标,标准差为横坐标画出来,即一条曲线

如何简单清晰地描述 CAPM 在投资学中的运用,以及 CAL、CML 和 SML 的关系和区别?插图

图中两种资产分别为IBM股票与沃尔玛股票,红点标注为40%资产投入IBM股票与60%资产投入沃尔玛股票中的期望收益与标准差。
Image Source: Principles of Corporate Finance (Ninth Edition) Slides by Matthew Will

一般说来,如果这个世界有很多种风险资产且所有信息已知时,图像便变成了一个域,即图中阴影部分。而事实上,我们只会选择图中粉红色线段部分,因为在相同横坐标的情况下(风险相同的情况下),我们会选择期望收益最高的资产组合(即纵坐标最大)。

如何简单清晰地描述 CAPM 在投资学中的运用,以及 CAL、CML 和 SML 的关系和区别?插图1

图中假设有10种风险资产,分别用黑色菱形标志。灰色面积为所有可能资产组合。
Image Source: Principles of Corporate Finance (Ninth Edition) Slides by Matthew Will

更一般而言,现实生活中会存在无风险资产(如:银行存钱)。如果当我们引入无风险资产,我们会期望投资这样的资产组合,当风险相同时,期望收益最大。于是,我们让从无风险资产的点引申的射线与上图中粉红色的边相切

如何简单清晰地描述 CAPM 在投资学中的运用,以及 CAL、CML 和 SML 的关系和区别?插图2

图中rf点即为无风险资产,T是上图中的粉红色曲线,S为相切的点(有效资产)。红色直线为CML,在S左侧资产需要存钱,在S右侧资产需要从银行借钱。
Image Source: Principles of Corporate Finance (Ninth Edition) Slides by Matthew Will

因此,这即是CML,有效资产S与无风险资产的组合。
表示为E(r)=r_f+\sigma \times \frac{E(r_s)-r_f}{\sigma _s}

SML (Security Market Line): (数学知识要求较高,看不懂可以先略过看后面的结论。)
假设我们构造一个资产组合,其中有α份资产i(待求资产),还有(1-α)份资产S(如上定义)。那么期望收益与方差分别为:
\mu _\alpha =\alpha \mu _i+(1-\alpha )\mu _S;
\sigma _\alpha =(\alpha^2\sigma _i^2+(1-\alpha )^2\sigma _S^2+2\alpha(1-\alpha )\sigma _{is})^{1/2}

意识到,α=0时,即全为S资产,所以此资产曲线必然与CML相交
而这个点究竟是交点还是切点?答案:一定是切点。否则,将会与CML定义相背离。因为CML需要与T相切,而i一定在T的边界或右下角。

既然是切点,用数学化的语言表达,即此资产组合在α=0(S)点的斜率,等于CML的斜率。即\frac{d\mu _\alpha }{d\sigma _\alpha } |_{\alpha =0}=\frac{\mu _s-r_f}{\sigma _S}
于是,\frac{d\mu _\alpha }{d\sigma _\alpha } |_{\alpha =0}=\frac{\frac{d\mu _\alpha }{d\alpha } |_{\alpha =0}}{\frac{d\sigma _\alpha }{d\alpha } |_{\alpha =0}} =\frac{(\mu _i-\mu _S)\sigma _S}{\sigma _{iS}-\sigma _s^2}
整理即是SML:\mu _i=r_f+(\mu _s-r_f)\frac{\sigma _{iS}}{\sigma _S^2} =r_f+\beta _i(\mu _s-r_f)

  • 结论篇:


结论:CML用来衡量资产组合的有效性(efficiency),SML用来衡量资产是否被正确定价(fairly priced)。

CML(Capital Market Line):

如何简单清晰地描述 CAPM 在投资学中的运用,以及 CAL、CML 和 SML 的关系和区别?插图9

Image Source: Capital market line

CML是在风险资产与无风险资产都存在的情况下,以期望收益率和标准差为坐标射线
射线上方不存在任何投资可能,射线上存在着有效投资,射线下方所有点均为非有效投资,但其仍然可能被投资来构造有效投资。

于是我们利用衍生出的Sharpe Index来判断资产是否有效(efficiency)
Sharpe Index:S_i=\frac{\mu _i-r_f}{\sigma _i}
若Sharpe Index与Sharpe Ratio(CML的斜率)相等或极其相近,我们说资产是有效的或近乎有效的
若Sharpe Index远远小于Sharpe Ratio(CML的斜率),我们说资产不是有效的

SML(Security Market Line):

如何简单清晰地描述 CAPM 在投资学中的运用,以及 CAL、CML 和 SML 的关系和区别?插图11

Image Source: Security market line

SML是建立在CML基础上,以期望收益率与beta(风险敏感性)为坐标直线(可向左边延伸,即beta<0)。
射线上方下方与射线上均可有投资可能,其存在不违背任何定义或假设。

同样,我们利用衍生出的Jensen’s Index来判断资产是否正确定价(fairly priced)
Jensen’s Index:J_i=\mu _i-[r_f+\beta _i(\mu _S-r_f)]
若Jensen’s Index大于零,即点落在SML上方,实际收益率比理论收益率要,即价格低估
若Jensen’s Index小于零,即点落在SML下方,实际收益率比理论收益率要,即价格高估

但并非所有Jensen’s Index大于零的都是好投资,因为SML只涉及系统误差,所以其也可能存在较高的非系统误差(specific variance),导致其落在CML下方而成为非有效投资。

— 完 —

本文作者:姚岑卓

【知乎日报】
你都看到这啦,快来点我嘛 Σ(▼□▼メ)

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