Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？

更深一步来说 N(d1)是在风险中性测度下，按股价加权得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，（不按股价加权）得到的期权被执行的可能性

最后一句话有好多故事要说啊

考虑如果你去买一个期权，一种是Asset-or-Nothing,一种是Cash-or-Nothing。同时假设 $S_0 = K$

很多时候，我们看到，N(d2)是在风险中性测度下的ITM概率。这个是相对好理解的：
对于一个Cash-or-Nothing, strike at K. 因为是风险中性，所以现在的价格就是期望价格，所以 $P = P\{ITM\}K = K\cdot N(d_2)$

但是如果对于一个Asset-or-Nothing期权，（ $S_0 = K$ ）你愿意付的钱还会是 $K\cdot N(d_2)$ 吗？还是要比这个要多。我们直觉说：如果这个期权最后ITM的话，那么他的价值一定要比 $K$ 大，因为strike at K。所以这个期权的价值一定要比 $K\cdot N(d_2)$ 大。而这个数值就是 $K\cdot N(d_1) = S_0 \cdot N(d_1)$ .
“如果这个期权最后ITM的话，那么他的价值一定要比 $K$ 大”这句话就是指在风险中性测度下，按照股价加权。

$N(d_1)$ 通常还被如下解释：
n(d1) is also the ITM probably at expiry, but under the measure that uses the stock price as the numeraire. 参见 (Wilmott Forums)

我的理解是这样子的：
在任何X-Numerarie下面，X自身就是一个Martingale. 比如风险中性测度下，折现未来价格就是Martingale.比如Forward测度下，Forward就是Martingale。所以在spot measure下，spot就是martingale,ie
$\frac{C_0}{S_0} = \mathbb{E}^{S_T} \left[ \frac{C_T}{S_T}\right] = \mathbb{E}^{S_T} \left[ \frac{(S_T - K )^+}{S_T}\right] = \mathbb{E}^{S_T} \left[ (1 - \frac{K}{S_T})^+\right]$
所以
$C_0 = S_0 \mathbb{E}^{S_T} [(1-\frac{K}{S_T})^+]$
这里 $C_0$ 是期权开始价格， $C_T$ 是期权最终价格。
所以我们看到 $N(d_1)$ 是在Spot measure下ITM概率。