虽然说邀请我是为了“吃”，其实我倒不觉得两个人每周一次的约会，都用在吃上能有多大的乐趣。
确实，两个人去尝尝新口味，试试异地情调，品尝传统美食，确实是能够身心愉快。但如果每次都是吃，你就会和她陷入“一见面就是吃”的怪圈。除非你的妹子非常爱吃，而且不抗拒各种各样的食物（而这往往是少数）。如果这样的话，我建议你参考一下知乎中对于各种在北京能吃到的美食的介绍：
北京各国餐馆：http://www.zhihu.com/question/19920935
北京潮汕餐馆：http://www.zhihu.com/question/19832393
北京清新餐馆：http://www.zhihu.com/question/20019443
北京传统美食：http://www.zhihu.com/question/19862981
北京甜品据点：http://www.zhihu.com/question/19638879
当然还有酒吧：http://www.zhihu.com/question/20434636
除了吃以外，大家在别的答案里也介绍了各种文艺的玩：电影、戏剧、展览。而除了这些以外，北京的特色有：
南锣 – 旧鼓楼大街 一线的 Live House
分散在各个角落的 相声表演
各区文化馆在周末的 评书
各个大学随时都有的 讲座
西北角的 国家图书馆
城中心的 国图分馆
东南角的 首都图书馆
而如果你是一个富有爱心的人，或者想在女友面前展示爱心，或者想与她品尝帮助人的乐趣，北京还有各种义工活动可以参加：
救助流浪小动物，孤寡老人，残障人士康复训练，自闭症儿童陪护，孤儿院，打工子弟学校代课，等等。不仅仅是爱心的展现，也是责任感的锻炼。如果你女朋友是个虔诚的教徒，我想她不会说不的。
几百上千块钱也许对谈恋爱的人来说，可能只是一次消遣。但对于很多人，很多动物，这是一个月的生活，甚至是一次生命的机会。