一切的讨论的前提是弄明白什么是“大数定律(law of large numbers)”。大数定律是数学领域概率论分之里的一系列定理，包括强大数定律(strong law of large numbers)，弱大数定律(weak law of large numbers)，以及一致大数定律(uniform law of large numbers)，等等。我们通常说的大数定律一般指的是“强大数定律”，它是一个由伟大的前苏联数学家，概率论先驱，科尔莫哥洛夫(Kolmogorov)首先给出严密证明的数学定理，又称“科尔莫哥洛夫强大数定律”。
在我们讨论该定律的技术细节之前，有必要要弄明白什么是“数学定理”。简单的说，一个数学定理包含一个假设前提A以及结论B，并断言由A通过逻辑（矛盾律，排中律）一定可以推导出B。下面是几个简单的数学定理的例子：
定理1（等腰三角形）: 如果一个三角形两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。
定理2（圆的面积）: 一个半径为r的圆的面积为。
一个和楼主问题相关的问题是，数学定理是必然的吗？如果你相信逻辑法则，那么数学定理是必然的（必然为真的），至少在数学上是的。如果一个三角形两条边相等，那么这两条边所对的角也一定相等；如果一个圆半径为r，那么它的面积一定是。然而微妙之处在于，数学的世界是一个高度抽象，高度理想化的晶莹剔透的世界，它和我们客观存在的物理世界不是一回事。在我们真实的物理世界里，不存在数学上完美的直线，完美的三角形，或者完美的圆。我们所能观察到的一切几何对象，从数学的角度上讲，都是粗造的：我们的世界里只可能存在是近似的直线，近似的三角形，以及近似的圆。因此，严格的说，一切数学定理的前提条件在真实的世界里都不可能完美的满足，因而数学定理断言的结论在真实的世界里也不可能完美的成立。
假设我用圆规在纸上画了一个半径10cm的圆，现问该圆的面积是多少。如果这是一道中学数学题，那么我们可以这样回答：应用定理2，我们可以算出该圆的面积为。然而真实的情况是，我画的这个圆不会是个完美的圆，我用的纸张也不可能绝对的平整，因此如果用精密的仪器测量它的面积（假设“面积”这个概念仍然有意义），我们会发现测量的结果不精确等于
。
这个例子想说明的道理无非是，尽管数学定理在数学上是必然为真的，然而由于在真实世界中不存在完美的符合数学定理要求的前提条件，因此我们也不可能完美的得到数学定理预言的结论。一切数学理论在真实的世界里的应用都只能是近似的。重要的是，近似仍然是有用的；因此数学理论是有意义的。
下面回到大数定律。强大数定律是这样陈述的（其它版本大数定律对应的条件和结论略有不同，然而所有大数定律直观意义都是相似的）：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 强大数定律 －－－－－－－－－－－－－－－－－－
若是一列独立同分布且L1可积的随机变量。则当n趋近于无穷大时，样本均值
依概率1收敛于X1的数学期望。
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定理的假设前提是所有的X1到Xn必须是独立同分布的随机变量，而且L1可积。关于“独立同分布”，相信大家懂一点概率统计的都能理解；而L1可积则指的是随机变量的绝对值的数学期望为一个有限的值。定理的结论“则当n趋近于无穷大时Sn依概率1收敛于X1的数学期望”则可以直观的理解为，当n非常大的时候，Sn有非常非常大的概率和X1的数学期望几乎相等。
大数定律在数学的世界里是必然的成立的。然而把大数定律应用到真实的世界里，情况当然有所不同，这主要缘于大数定律要求的前提在真实世界里不可能完美的满足。有时我们提供的条件离大数定律要求的前提差得很远（比如随机变量的数学期望非有限值，或者随机变量之间显著相关，或者非同分布），这时应用大数定律只能得出荒谬的结果；有时我们提供的条件离大数定律的前提非常接近，以至于我们认为其中差别可以忽略不计，这时大数定律所断言的结论对我们就是有意义的了。就以抛硬币为例：尽管硬币可能正反面不是完美的均匀，尽管每次抛硬币的行为（不管是用人还是用机器完成）并不可能做到真正的相互独立，尽管每做一次抛硬币试验之后硬币可能会有细微的磨损，尽管试验的环境如温度，空气的流动随着试验的进行可能有微小的变化，等等，但是我们可以有理由认为，大数定律的前提条件非常好的得到了满足：硬币是均匀的，每次抛硬币获得正面和反面的几率都是50%；抛硬币都是一个数学上的随机试验，且每次抛硬币的结果是独立同分布的随机变量。这时我们就可以相信大数定律的结论：假设把硬币正面记为1，反面记为0，把抛很多次硬币以后的结果加起来作平均，那么这个得到的平均值有很大几率几乎等于随机试验的数学期望0.5；这意味着我们总共能得到大约50%正面以及50%反面。
注意：大数定律并不排除“抛10000次硬币结果都是正面”这样的事件。它仍然有可能发生，只是发生的可能性微乎其微以至于没有多少现实意义罢了。
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下面是对问题的正面回答：
1，为什么实验次数越多，事件出现的频率将会趋近期望值？
数学证明目的就是告诉你“为什么”。
2，但我想问的是，为什么一定会“接近一个值”？
在满足大数定律的前提条件的情况下，样本均值不是“一定会”接近一个值，而只是“有非常大的可能性”会如此，这个可能性随着样本容量的增大而趋近于100%。数学家们发明了若干数学概念描述这样的状态，比如“依概率1收敛”等。
如果大数定律的前提条件没有得到完美的满足（比如在真实的世界里），那么样本均值可能不会趋近于任何一个固定的值。举一个栗子：考虑一个这个随机变量X，它取值为的可能性为
,这里n为自然数（换言之，X有1/2的可能取值为2，有1/4的可能取值为4，有1/8的可能取值为8，以此类推）。容易看出这个随机变量X的数学期望是无穷大，因此不是L1可积的，它不满足强大数定律的前提条件。如果我们观察到一列独立同分布的X的实现，那么一定会发现样本均值Sn并不会随着n的增加而收敛到任何一个值。
下面两个图是matlab的模拟结果，图里横坐标表示样本大小，纵坐标表示样本均值。第一幅图里用的是服从0-1分布的Bernoulli随机变量，模拟掷硬币的试验。我们可以清楚的看到，当样本量增大时，样本均值趋近于0.5，符合大数定律的结论。第二幅图里用的服从Cauchy分布的随机变量，这个随机变量和上面例子中的随机变量类似，它的数学期望也是无穷大，因而不符合大数定律成立 的前提条件。此时大数定律无效：它的样本均值不会随着样本容量的增大而趋近于某个固定的值。
3，即“偶然中包含必然”这句话是否是必然的？
在大数定律前提条件满足的情形下，是必然的。
3，这是由这个世界本身的性质决定的吗？
一部分是由逻辑决定的（概率的数学理论），一部分是由世界本身的性质决定的（客观世界可以很好的满足大数定律的所需要的前提条件）。
来源：知乎 www.zhihu.com
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