为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？

上面有答案解释得很明确，即样本方差计算公式里分母为 $n-1$ 的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是 $n-1$ 而不是 $n$ 才能使得该估计无偏。我相信这是题主真正困惑的地方。

要回答这个问题，偷懒的解决办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明：
$\mathbb{E}\Big[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\bar{X}\Big)^2 \Big]=\sigma^2$ .
但是这个答案显然不够直观（教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式）。
下面我提供一个更友善一点的答案，是为上面@未知的回答的一个详细版本。
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===================== 答案的分割线 ===================================
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首先，我们假定随机变量 $X$ 的数学期望 $\mu$ 是已知的，然而方差 $\sigma^2$ 未知。在这个条件下，我们显然有
$\mathbb{E}\Big[\big(X_i -\mu\big)^2 \Big]=\sigma^2, \quad\forall i=1,\ldots,n,$

由此可得
$\mathbb{E}\Big[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\mu\Big)^2 \Big]=\sigma^2$ .

因此 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\mu\Big)^2$ 是方差 $\sigma^2$ 的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是 $n$ ！
这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。

现在，我们考虑随机变量 $X$ 的数学期望 $\mu$ 是未知的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值 $\bar{X}$ 替换掉上面式子中的 $\mu$ 。这样做有什么后果呢？后果就是，
如果直接使用 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\bar{X}\Big)^2$ 作为估计，那么你会倾向于低估方差！
这是因为：
$\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 &=& \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\Big[(X_i-\mu) + (\mu -\bar{X}) \Big]^2\\ &=& \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 +\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)(\mu -\bar{X}) +\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mu -\bar{X})^2 \\ &=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 -(\mu -\bar{X})^2 \end{eqnarray}$
换言之，除非正好 $\bar{X}=\mu$ ，否则我们一定有
$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 <\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$ ,
而不等式右边的才是的对方差的“正确”估计！
这个不等式说明了，为什么直接使用 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\bar{X}\Big)^2$ 会导致对方差的低估。

那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母 $n$ 换成 $n-1$ ，通过这种方法把原来的“错误估计”放大一点点，我们就能获得对方差的正确估计了：
$\mathbb{E}\Big[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\bar{X}\Big)^2\Big]=\mathbb{E}\Big[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\Big(X_i -\mu\Big)^2 \Big]=\sigma^2.$