基于次线性期望（Sublinear expectation）的概率论体系有何价值？

回答这个问题得从金融风险测度开始谈起。
风险管理的基础工作是度量风险，为此必须选择合适的风险度量的指标。有关风险和风险度量的文章非常多，涉及到金融、保险、经济和管理等诸多学科领域。其中一类方法是度量风险与某一目标值之间的离散程度，典型代表是Markwitz提出的均值-方差理论，其中把均值当作收益水平的度量，方差当作风险水平的度量。另一类是度量为了弥补潜在损失所需要准备的资本或风险溢价。典型方法是VaR(Value at Risk)，该方法由J.P.Morgan提出，并很快得到广泛的应用，并且成为事实上的标准。Artzner在1999年在金融风险测度领域取得突破性的进展，提出了风险测度的公里化理论，提出一致性风险测度模型，即CVaR。之后又有其他人研究CVaR的凸性理论，对模型做了不少改进。至此几乎没有中国人什么事。
再谈一致性风险测度的4条公理。对于任意随即变量 $X\in L^p(\Omega ,G,P)$ ,其中 $L^p(\Omega ,G,P)$ 是构成一Borel测度的概率空间，要测度X的风险就是要建立从 $X\in L^p(\Omega ,G,P)$ 到R的映射，即 $\rho :L^p\rightarrow R$ .
(1)平移不变性: $\rho (X+a)=\rho (X)-a$ .
(2)单调性： $\forall X\geq Y,\rho (X)\leq \rho (Y)$ .
(3)次可加性： $\rho(X_1+X_2)\le \rho(X_1)+\rho(X_2)$
(4)正齐次性： $\rho(\lambda X)=\lambda \rho(X)$
上文提到的VaR不满足一致性原则中的次可加性，因此受到一些学者如Artzner的批评。
山东大学的彭实戈院士提出的次线性期望理论，是用一族线性泛涵的上确界，即 $\tilde{E}[.]=sup_{\theta \in \Theta} E_\theta[.]$ ,来表示次线性期望。次线性期望满足单调性、正齐性、保常性和次可加性，其中他用保常性代替平移不变性，因为平移不变性存在不合理性，由此得到修正的一致性风险测度。定义 $\rho(X)=\tilde{E} [-x/r]$ ,则 $\rho$ 是一致风险测度；反之若 $\rho$ 是一致性风险期望，则 $\tilde{E} =\rho(-X*r)$ 是次线性期望。次线性期望提供了稳健的方法来度量风险损失，并且满足其他的一些很好的性质，实在是内涵丰富，结构优雅。
古典概率极限定理是概率论、统计学的基石，但是这类极限定理只能考虑可加概率或可加期望，但是事实上，很多不确定的现象不能被可加概率或可加期望所解释，对于统计、量子力学、风险管理中的很多问题都不具备可加性，因此很多研究通过容度和非线性期望来描述和解释这些不具备可加性的现象。彭实戈院士给出了次线性期望下随即变量独立同分布的概念，得到了次线性期望下的大数定律和中心极限定理，把经典的结果从线性清醒推广到非线性情形，能够更好地研究风险测度和金融模型的不确定性。可见次线性期望有着深厚的理论基础和重要性，且切合金融的实际情况，日后一定会有重要的应用的。