【数学公式显示不出来，请查看原文 如何计算投资收益率 « 阅微堂】
某些人对绩效评估和分解不屑一顾，认为没必要那么复杂，不就比比谁赚的钱多就行了吗？问题没有那么简单。
首先，直观地说，一个人用100万本金赚到了10万，跟一个人只用10万本金赚到10万，显然后者的表现更好。所以第一个结论：在进行绩效评估的时候，不能光看收益额，而要看收益率：相对于其本金的收益。
那么，收益率可以被简单理解为收益除以本金吗？也不行，这里面的东西远比想象中复杂。简单地说，如何计算收益率，依赖于你评估的角度。不同的角度得出的结论可能截然相反。
下面先给出一个这样的例子。
假设有甲、乙两个投资人，分别投资于两只基金A和B，这两只基金都投资于中国A股股市。为了简单起见，我们假设投资为两年期限，恰好为中国A股市场的2007年到2008年。
甲在2007年投资了100万到A，然后A这一年赚了120%；甲一看赚了钱，马上追加了200万，结果2008年这只基金亏损50%。显然，甲损失了100+200-(240+200)*50%=80万，平均投入资金为200万一年。
乙同样在2007年投资了100万到B，B在这一年赚了100%，但在年末他撤回了50万的本金。B在第二年亏损了60%。那么乙在这两年赚了(50+150*40%)-100=10万。乙的平均投入成本为75万每年。
乙用不到一半的成本获得了更高的收益，而甲花了很多钱，最后亏损不少。从这个角度上来说，乙的赚钱能力更强一些。
由于投资人的资金实际都是由两只基金的基金经理来操作，那么能否说第二位投资经理要操作的比第一位投资经理好呢？显然不能，第一位投资经理无论在2007年还是2008年收益率都要比第二位投资经理收益率更高。
所谓问题归结到：投资者的收益如何计算？基金经理的收益如何计算？
金钱加权法（Money Weighted）
金钱加权法本质上就是内部收益率法。将初始投入视为现金流入（大于0），期末资产视为现金流出（小于0），那么金钱加权收益率即使得现金流的现值等于0的折现率。我们使用下述公式：
\[ \sum_{i=1}^T f_{t_i}(1+r)^{-t_i}=0\]
其中\(f_{t_i}\)为时间点\(t_i\)上的现金流，\(r\)为内部收益率。
在金钱加权法中，钱在不同时候收益率是一样的。并且它只对期间整体进行定义，分期的收益率和整体的收益率并无直接的关系。
上述的定义较为复杂，掩盖了金钱加权法的一些本质。事实上，金钱加权收益率近似等于收益额除以平均占用资金。这里平均占用资金是指各期占用资金的算术平均值。这种近似收益率也被称为Modified Diez Return。
Modified Dietz Method
假设现金流为\(f_{t_i}, i=0,1\cdots, T\)，其中\(f_0\)为期初投资额，期末投资余额为\(-f_{t_T}\)，那么金钱加权收益率\(r\)为下述方程的解：
\[\sum_i f_{t_i} (1+r)^{-t_i} = 0\]
注意对\(r\sim 0, x\sim 0\)有\((1+r)^x \sim 1+ rx\)。上面等式可写成
\[\sum_if_{t_i} (1+(t_T-t_i)r) = 0\]
解出\(r\)：
\[\begin{array}{rcl}r &=& \frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^T f_{t_i} (t_T-t_i)}\\&=&\frac{-\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\sum_{i=0}^{T-1} (t_{i+1}-t_{i})\sum_{j=0}^{i}f_{t_j}}\end{array} \]
此处分子\(-\sum f_i\)为投资盈利额，分母为平均占用资金（因为在时间\(t_i\)到\(t_{i+1}\)期间，投入资金恰好为\(\sum_{j=0}^i f_{t_j}\)）。
时间加权法（Time Weighted）
将投资区间分成若干段，每段之间没有现金进出，这样每一段都可以用简单收益率法计算其收益率。时间加权收益率 = （1 + 各段收益率）的连乘 – 1。
日内现金流或现金流时间不确定时处理方法
时间加权法要求将投资区间分为若干段，每段之间没有现金进出。但在某些时候达到这点比较困难。比如每天日内不停地买卖股票，将每个买卖动作都分隔开，是一个无论在计算上，还是在对数据的要求上，都是一个几乎不可能的任务。
一个简单办法是，对于无法细分的时间颗粒（一般是一天），假设颗粒内部还是有现金流流入和流出，那么将流入的现金流都视为一开始就流入，流出的现金流则认为到结束才流出。
即：期间收益率 = （期末市值+流出现金-期初市值-流入资金）/（期初市值+流入资金）。
实际中使用的时间加权法
由于时间加权法要求在每个现金流时点都需要投资组合的精确估值，对于某些投资组合而言，这一点比较困难。那么在实际使用中，通常在固定的期限内，比如每个月，使用金钱加权法，计算这段期限内的收益率，然后再将各个期间的收益率连乘得到整个期间的收益率。
比较
时间加权法收益率可以理解为在各个时点上的瞬时收益率的累计，而金钱加权收益率可以理解为各个时点上的瞬时收益率，再根据当时投入的资本进行加权的收益率。
从这一点上看就很容易理解在什么时候该用什么收益率。
- 对于投资经理来说，每个时点上有多少资本根本不是他所能掌控的，所以对投资经理，只能使用时间加权收益率。
- 而对于投资者而言，他决定了每个时间点上的资本数量，所以对于他的评价必须使用金钱加权收益率。
这样最开始的例子中，基金A、B和投资人甲、乙的收益（Performance Measure）评估结果如下：
时间加权基金A：10%基金B：-20%金钱加权投资人甲：-40%投资人乙：13.3%
从上面可以看到，甲投资的基金A的表现优于乙投资的基金B，但甲的收益却不如乙。为什么会出现这种情况？直观看是因为甲的择时能力太差，在熊市重仓牛市轻仓。接下来绩效分解（Performance Attribution）会介绍一些定量的方法来评估各自的贡献。
来源：知乎 www.zhihu.com
作者：zhiqiang
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