我被Citi的Head of Asian Exotics Trading面试的时候，被问过一个非常类似的问题：
投资者明显是风险厌恶(risk averse)的，为什么给衍生品定价的时候要用风险中性概率？也就是说，为什么给衍生品定价的时候要用risk-free rate而不是你期望的收益率。

当时我给了几乎下面所有的答案，比如dynamic hedging可以消掉那个收益率，martingale pricing用money-market account做numeraire，no arbitrage等等，他都不是很满意。

最后他也没告诉我他期望的答案，但是我觉得他想要的是一个可以给金融小白(layman)也能讲清楚的回答。经过一番“容我三思”（其实是去翻了asset pricing和stochastic calculus的笔记。。。我对不起Johan Walden老师），我觉得还是应该从风险厌恶的角度来理解。

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回到楼主的问题。本着公式越少越好的原则，我觉得答案应该是：

  1. 跟投资者期望的收益率是有关的；
  2. 这个收益率并没有直接反映在定价中，因为高出无风险收益率(risk free rate)的那部分被投资者的risk aversion抵消掉了。

利益申报：废话很多，珍爱绳命，慎重阅读。

(一)
首先，你得相信投资者普遍是风险厌恶的。
有些人说用风险中性概率定价，是因为平均起来，投资者是风险中性的。这实在不合常理。假设，有两个选择：A. 什么都不做；B. 扔硬币，正面赚一万，反面赔一万。正常人都会选择什么都不做（好吧我不是有意黑我ex。。。。）。

(二)
“期望收益率”的存在，其实就是risk aversion的结果。
换一个股票的例子。假设，有一个逗逼的市场，里面只有一支股票和一支国债。这只股票现在值10元，一年之后，有两种情况：

  1. 公司牛逼了，涨到20块。有60%的概率；
  2. 公司傻逼了，破产，0元滚粗。概率40%。

那支一年期的国债的收益率为10%。也就是说，国债现在值10块，一年之后值11块，无风险。

如果，我给股票的定价方法是“先取期望值，然后按照无风险收益率折现”，那股票价格应该是
(60\%\times 20 + 40\% \times 0) \cdot \frac{1}{1+10\%} = 10.91
这等同于股票的预期收益率也为10%。但是跟上面扔硬币的例子一样，我明明可以通过买国债这种方式获得10%的收益率，我完全没有必要承担股票价格波动的风险。想要我承担风险，可以，股票收益率得更高一些，也就是说当前价格要更低一些。
所以投资者给这支股票的定价为10元，而不是10.91元，因为投资者的风险厌恶情绪压低了风险资产的价格。

(三)
从上面那个例子可以看出，风险资产的定价其实是受风险厌恶情绪影响的。那如何量化这种情绪？答案是一个叫做stochastic discount factor的东西（中文叫随机贴现因子？？）。名字看上去很唬人，其实可以解释得很通俗。
回到上面股票的例子。我在定价的时候给未来的两种情况各赋予一个权重m1和m2，来量化这种风险厌恶情绪：
10 = (60\% \times m_1 \times 20 + 40\% \times m_2 \times 0) \times \frac{1}{1+10\%}
为了倒推出风险厌恶的影响，我应该解出m1和m2。运用小学的二元一次方程组知识，我们发现还少一个方程。鉴于这两个权重是赋予未来的两个状态的，而不是股票的价格，给国债定价的时候也应该添加这两个系数：
10 = (60\% \times m_1 \times 11 + 40\% \times m_2 \times 11) \times \frac{1}{1+10\%}
很容易解出
m_1 = \frac{11}{12}, m_2 = \frac{9}{8}
这两个值就是给风险资产定价时，对于风险厌恶的调整系数。

(四)
仔细观察一下上面解出的m1和m2，可以发现，60\% \times m_1 = 55\%和40\% \times m_2 = 45\%，两者相加等于100%。这跟什么很类似？对，你可以把这当成是一个新的概率。其实，这就是风险中性概率。如果使用这个新的概率来为股票和国债定价的话，那我们就可以使用“先取期望值，然后按照无风险收益率折现”的方法了。

我始终不觉得风险中性概率是个概率。这无非是实际概率经过风险厌恶情绪的调整后，得到的一组相加等于1的数字。

(五)
说了那么多的废话，最后还是要回到衍生品定价上面来。衍生品跟股票一样，也是一种风险资产，定价也需要考虑到风险厌恶情绪的影响。
之所以叫衍生品，是因为这种资产的价值完全依赖于另一种风险资产（在上述例子里面，指的是那支股票）。在市场中引入衍生品，不会影响未来的状态，i.e. 未来公司还是两种状态，要么牛逼，要么傻逼。
所以给衍生品定价时，需要用上述的风险中性概率（从当前股票和国债价格中反推出来），然后用无风险收益率折现。

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结论：
1. 股票的期望收益率反映了在实际概率和当前价格中。
2. 对衍生品定价的时候，风险厌恶情绪会把超过无风险收益率的那部分溢价抵消掉。

— 完 —

本文作者：Hang Li

【知乎日报】
你都看到这啦，快来点我嘛 Σ(▼□▼メ)

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