想深入了解CML和SML，我们首先得先知道它们是怎么来的。故此文先对其来源进行说明，再回答此题。结论将摆在后方。

  • 来源篇：

CML (Capital Market Line):
假设这个世界有且仅有两种风险资产（资产1、资产2），各自的期望收益率、各自的风险及相关系数你都已知。当然，你可以得到所有可能投资方式的期望收益和方差。以期望收益为纵坐标，标准差为横坐标画出来，即一条曲线。

图中两种资产分别为IBM股票与沃尔玛股票，红点标注为40%资产投入IBM股票与60%资产投入沃尔玛股票中的期望收益与标准差。
Image Source: Principles of Corporate Finance (Ninth Edition) Slides by Matthew Will

一般说来，如果这个世界有很多种风险资产且所有信息已知时，图像便变成了一个域，即图中阴影部分。而事实上，我们只会选择图中粉红色线段部分，因为在相同横坐标的情况下（风险相同的情况下），我们会选择期望收益最高的资产组合（即纵坐标最大）。

图中假设有10种风险资产，分别用黑色菱形标志。灰色面积为所有可能资产组合。
Image Source: Principles of Corporate Finance (Ninth Edition) Slides by Matthew Will

更一般而言，现实生活中会存在无风险资产（如：银行存钱）。如果当我们引入无风险资产，我们会期望投资这样的资产组合，当风险相同时，期望收益最大。于是，我们让从无风险资产的点引申的射线与上图中粉红色的边相切。

图中rf点即为无风险资产，T是上图中的粉红色曲线，S为相切的点（有效资产）。红色直线为CML，在S左侧资产需要存钱，在S右侧资产需要从银行借钱。
Image Source: Principles of Corporate Finance (Ninth Edition) Slides by Matthew Will

因此，这即是CML，有效资产S与无风险资产的组合。
表示为E(r)=r_f+\sigma \times \frac{E(r_s)-r_f}{\sigma _s} 。

SML (Security Market Line): （数学知识要求较高，看不懂可以先略过看后面的结论。）
假设我们构造一个资产组合，其中有α份资产i（待求资产），还有(1-α)份资产S（如上定义）。那么期望收益与方差分别为：
\mu _\alpha =\alpha \mu _i+(1-\alpha )\mu _S;
\sigma _\alpha =(\alpha^2\sigma _i^2+(1-\alpha )^2\sigma _S^2+2\alpha(1-\alpha )\sigma _{is})^{1/2}

意识到，α=0时，即全为S资产，所以此资产曲线必然与CML相交。
而这个点究竟是交点还是切点？答案：一定是切点。否则，将会与CML定义相背离。因为CML需要与T相切，而i一定在T的边界或右下角。

既然是切点，用数学化的语言表达，即此资产组合在α=0（S）点的斜率，等于CML的斜率。即\frac{d\mu _\alpha }{d\sigma _\alpha } |_{\alpha =0}=\frac{\mu _s-r_f}{\sigma _S} 。
于是，\frac{d\mu _\alpha }{d\sigma _\alpha } |_{\alpha =0}=\frac{\frac{d\mu _\alpha }{d\alpha } |_{\alpha =0}}{\frac{d\sigma _\alpha }{d\alpha } |_{\alpha =0}} =\frac{(\mu _i-\mu _S)\sigma _S}{\sigma _{iS}-\sigma _s^2} 。
整理即是SML：\mu _i=r_f+(\mu _s-r_f)\frac{\sigma _{iS}}{\sigma _S^2} =r_f+\beta _i(\mu _s-r_f)。

  • 结论篇：


结论：CML用来衡量资产组合的有效性(efficiency)，SML用来衡量资产是否被正确定价(fairly priced)。

CML(Capital Market Line):

Image Source: Capital market line

CML是在风险资产与无风险资产都存在的情况下，以期望收益率和标准差为坐标的射线。
射线上方不存在任何投资可能，射线上存在着有效投资，射线下方所有点均为非有效投资，但其仍然可能被投资来构造有效投资。

于是我们利用衍生出的Sharpe Index来判断资产是否有效(efficiency)
Sharpe Index：S_i=\frac{\mu _i-r_f}{\sigma _i} 。
若Sharpe Index与Sharpe Ratio(CML的斜率)相等或极其相近，我们说资产是有效的或近乎有效的。
若Sharpe Index远远小于Sharpe Ratio(CML的斜率)，我们说资产不是有效的。

SML(Security Market Line):

Image Source: Security market line

SML是建立在CML基础上，以期望收益率与beta（风险敏感性）为坐标的直线（可向左边延伸，即beta<0）。
射线上方下方与射线上均可有投资可能，其存在不违背任何定义或假设。

同样，我们利用衍生出的Jensen’s Index来判断资产是否正确定价(fairly priced)
Jensen’s Index:J_i=\mu _i-[r_f+\beta _i(\mu _S-r_f)]。
若Jensen’s Index大于零，即点落在SML上方，实际收益率比理论收益率要高，即价格低估。
若Jensen’s Index小于零，即点落在SML下方，实际收益率比理论收益率要低，即价格高估。

但并非所有Jensen’s Index大于零的都是好投资，因为SML只涉及系统误差，所以其也可能存在较高的非系统误差(specific variance)，导致其落在CML下方而成为非有效投资。

— 完 —

本文作者：姚岑卓

【知乎日报】
你都看到这啦，快来点我嘛 Σ(▼□▼メ)

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