如何用一个公平的硬币模拟 1/Pi 的概率？

我来补充一个符合LZ要求的答案：

statement of mission:
1. 只利用一个能生成Bernoulli(0.5)的随机数发生器“抛硬币”。
2. 设计一个with probability 1会在有限次抛硬币后终止的游戏，对于任意给定的 $\epsilon$ >0，都能调整游戏规则，令该游戏中玩家胜利的概率与 $\frac{1}{\pi}$ 的误差小于 $\epsilon$ 。

part 1: 设计一个almost surely会有限步结束的子游戏，令玩家在该游戏中获胜的概率为 $\frac{m-1}{m}$ ，其中 $m$ 是任意事先给定的正整数， $m\geq 2$ 。

solution to part 1: 首先抛硬币 $m-1$ 次，如果全为正面那么玩家失败，如果恰好有一次正面那么玩家获胜，其他情形游戏重置，再抛硬币 $m-1$ 次。
玩家失败的概率比较好算，每一次游戏玩家失败的概率为 $\frac{1}{2^{m-1}}$ ，需要进行下一次游戏的概率为 $1-\frac{1+(m-1)}{2^{m-1}}=1-\frac{m}{2^{m-1}}$ ，所以玩家失败的概率是 $\frac{1}{2^{m-1}}\Big/ \left( 1-\left[1-\frac{m}{2^{m-1}}\right] \right) = \frac{1}{m}$

part 2: 做有限个子游戏，依次设置它们的参数 $m$ 为 $2, 4, 4\times 1^2, 4\times 2^2, 4\times 3^2, \ldots$ ，最后根据 $\frac{1}{\pi} = \frac{1}{2}\times \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2-1}{4n^2}$ (参考Infinite product)，这样的游戏序列随着子游戏数目的增加，其玩家获胜的精确概率越来越逼近 $\frac{1}{\pi}$ ，并且逼近的误差可以容易地计算出来。可以选取足够大的游戏数目，使得逼近误差小于任意事先给定的值。