关于该问题并没有确切的结论，我在此抛砖引玉。
1.弦与振动频率
以弦乐器为例讨论弦长与振动频率的关系（管乐器的关系类似）
考虑一段振动的弦，起点为X, 终点为
弦上张力为T，左侧张力T_1, 方向向左，右侧张力T_2, 方向向右。于是在沿着X轴方向上有：
注意到，在角度极小时(α, β)其余弦值约等于1，以上两个等式成立。
考虑在Y方向这段弦的加速度，根据牛顿第二定律[1]有：
其中μ为弦的线质量，上式两边都除以T，并交换左右得
进一步的，有
当ΔX->0时
即有波函数y(x,t), 并有
为波在弦上的传递速度。而该速度又等于波长λ与周期τ的比值：
对于长为L的弦，在理想状态下，其基准频率(一次谐波频率)的波长为2L：
也就是
对应的，n次谐波频率为
根据以上频率公式，有：
- 弦的振动长度越短（弦乐器的把位），振动频率越高
- 弦上张力越大（弦越紧），振动频率越高
- 弦的线密度越小（同样的材料下，弦越细），振动频率越高
理论上，弦振动时是以所有频率振动的，但是对于理想状态的弦，其他频率（f_n之外）的振动因为波长与弦长的关系，其振动在弦上来回运动时，会相互抵消，从而快速的衰减至0，只剩下f_n振动。
2.十二平均律
由上一部分的结论可知，通过控制弦的振动长度，弦乐器可以在最低基频（对应全弦长）以上的任意频率振动，那为什么在演奏的过程中，只有在一些固定位置按弦才是正确的，其他位置都被认为是“不准”呢，为什么键盘上的A4=440Hz，C4=261.6 Hz呢。
实际上在音乐的发展过程中，A4的音高是有很多不同的标准的。在十七世纪，A4的音高在各地各个时段可能是在373.7 Hz到402.9 Hz之间变化。在那个时代，如果不同地方的乐器合奏曲子，是不会好听的，因为他们的音高标准不同。好在那时需要合奏的场合并不多。
为了能够不同的乐曲合奏，需要统一标准，这个标准在历史上变动了很多次，代表性的有：
- 1640年 维也纳Franciscan Organ A=457.6Hz
- 1699年 巴黎歌剧院 A=404Hz
- 1751年 亨德尔的音叉 A=422.5Hz
- 1834年 维也纳歌剧院 A=436.5Hz
- 1878年 维也纳歌剧院 A=447Hz
直到1939年，在伦敦的一次国际会议上，A=440的标准才被确立起来。A的音高之所以一直在400Hz左右浮动，主要因为受到以下因素的限制：
- 乐器跟人配合时如果音高定的太高或太低，都会使演唱过于困难。
- 音高定得过高，会使的琴弦上的张力过大，过低则会使琴弦过松。
关于A音变化的历史，详细内容可参考A brief history of the establishment of international standard pitch a=440 hertz [2] (http://www.wam.hr/sadrzaj/us/Cavanagh_440Hz.pdf)
关于音与音之间的关系，在公元前就有把一个八度分成十二个音的历史。在十七世纪，关于这十二个音之间的相对关系才逐渐的稳定下来，平均律因为一个重要优势胜出，在平均律下，从一个调转到另一个调，不需要重新调弦。易于理解的解释是，你可以由C开始唱do ri mi fa so la ti, 也可以由D或者其他音开始唱，无论从哪个音开始唱do, 后面的每个音都有对应在键盘上的键，而不需要重新调弦。因此平均律(Equal temperament)又被称为Well Temperament。巴赫的试验性音乐Das Wohltemperierte Klavier (The Well-Tempered Clavier，平均律钢琴曲集)，展示了十二平均律极大的灵活性。
要做到这一点，在每个八度（最高音是最低音频率的一倍）下，如果等分成十二分，那相邻音之间的关系是2^(1/12)，对应的，由1部分的频率公式，弦长关系为1/(2^(1/12)). 除十二平均律之外，还有中国的五度相生率，阿拉伯的十七律、二十四平均律等，各自有自己的优势。在五度相生律下，存在不可避免的转调困难的问题，但是由于各个音之间的频率关系倍率是有理数，在乐器的制作上比较简单。
十二平均律，随着西方文化变成强势文化，逐渐成为最为通用的标准。
在十二平均律下，有以下音程关系：
3.和谐与不和谐
两个音同时奏响时，根据其音程之间的关系（频率关系），会使人产生和谐或不和谐之感觉。具体如下：
- 完全和谐音程：一度(unison)、八度(octave)、纯五度(perfect fifth)、纯四度(perfect forth)
- 不完全和谐音程：大三度(major third)、小三度(minor third)、大六度(major sixth)、小六度(minor sixth)
- 不和谐音程：大二度(major second)、小二度(minor second)、小七度(minor seventh)、大七度(major seventh)以及各种增减音程(augmented\diminished)
这种分类主要是按照人的感觉来的，在完全和谐、不完全和谐之间只是感觉上的强弱稍有区别，并不是绝对的差异，因此该标准甚至并不完全统一。
从纯粹的数学关系上分析，最让人感觉和谐的音程当然是纯一度和八度，因为他们的频率关系分别是1和2。纯五度音程频率关系为2^(7/12)，大概等于3/2=1.5，是其次让人感觉和谐的音程。纯四度是2^(5/12)，约等于4/3，和谐程度紧跟其后。然后让人感觉和谐的还有5/4（大三度）、6/5(小三度)、8/5（小六度）、5/3（大六度）。他们之前的频率关系比较接近于分母比较小的分子式，其高次泛音/谐波易于相互吻合，使人产生和谐之感。同时从上表中可以看到，小二度频率关系接近于16/15，是分母最大的分子式，也是最让人感觉不和谐的音程。
在频谱和波形上可以很容易的看出不和谐与和谐的区别，以小二度和纯五度为例[3]：
更多波形[4]：
4.和弦
和弦指的是一定音程关系的一组声音。将三个和三个以上的音，按三度叠置的关系，在纵向上加以结合，就成为和弦。按三度音程关系构成的和弦，由于各音间都是和谐的音程，音响协调丰满，并合乎泛音的自然规律，因而被广泛采用。按非三度音程构成的和弦，不像按三度音程构成的和弦那样被广泛采用。
以C大调和弦为例，三个音分别是C, E, G. E与C之间是大三度关系，G与C之间是纯五度关系，E与G之间是小三度关系。所有这些关系都是和谐的。在键盘上如果单奏响C和G，由于二者之间相距比较远，虽然是和谐的，但是会让人感觉不太饱满。加入奏响E之后能大大弥补饱满度，让人感觉平和。同样的，其他和弦也是通过一组音达到内部之间的和谐和总体上的饱满。
5.音程、和弦与情绪
因为时间分辨率上的优势，我们不妨以事件相关电位(ERP)来研究人对音和音乐的认知。上图是一个典型的人听到声音刺激之后的ERP波形[5]。最左端的的I-VI波峰/波谷代表了脑干的音乐反应。 N0, P0, Na, Pz, Nb和P1 代表初级听觉皮层的反应。N1和P2对应次级听觉皮层。 N2, Nd和P3代表注意、记忆和决策，是不一定会出现的反应。
在儿童发育过程中，其对音的感知越来越强，表现在ERP上为幅度的增加。
对两个音之间的区别和音的变化的认知能力，在3-4个月的时候才发展出来(上图，当音有差异时，在3个月儿童上没有观察到变化，而4和7个月儿童有MMN, mismatch negativity)[6]，而这是识别和音谐与不和谐的基础。
人所受到的音乐训练越多，对和谐/不和谐的感知能力越强（上图中显示了音乐训练跟和谐/不和谐感知的相关性，蓝色对应两个音的音程，绿色对应三和弦；P, V, SV, C分别对应不同的乐器/音色）[7]。
在成人听到让人感觉快乐/不悦的音乐时，其对应的激活区域除听觉皮层之外，主要有前额叶、杏仁核和海马体区域[8]。说明我们在感知音乐的情绪过程中，有记忆等因素参与进来，并和情绪相互影响。
根据以上的原理和事实，可以推论
- 在一定年龄范围内，人对音乐和谐/不和谐的感知会随着受训经历的增加而增长。
- 在生活中，我们经常在各种媒体中听到音乐，不同的音乐对应不同的场景，音乐/和谐与情绪因此关联
- 我们对和谐/不和谐/各种和谐的感知能力的强化，会助益对音乐情绪的认知，专业的音乐人因此更能体会音乐中的情绪，虽然他们可能在演奏时候更关注乐理
- 我们对和弦/音乐情绪的认知，可能并不是我们直接感受到的，我们感受到的只是和谐/不和谐的程度，其对应的情绪可能是由我们把其他事情、经历的情绪和该种感受关联而带来的
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[1] Newton, Isaac. “Naturalis philosophiae principia mathematica.” London (1687)(1726).
[2] Cavanagh, Lynn. “A brief history of the establishment of international standard pitch a= 440 Hz.” WAM: Webzine about Audio and Music 4 (2009).
[3] McDermott, Josh H., Andriana J. Lehr, and Andrew J. Oxenham. “Individual differences reveal the basis of consonance.” Current Biology 20.11 (2010): 1035-1041.
[4] Fishman, Yonatan I., et al. “Consonance and dissonance of musical chords: neural correlates in auditory cortex of monkeys and humans.” Journal of Neurophysiology 86.6 (2001): 2761-2788.
[5] Trainor, Laurel J., and Andrea Unrau. “Development of pitch and music perception.” Human Auditory Development. Springer New York, 2012. 223-254.
[6] He, Chao, Lisa Hotson, and Laurel J. Trainor. “Maturation of cortical mismatch responses to occasional pitch change in early infancy: effects of presentation rate and magnitude of change.” Neuropsychologia 47.1 (2009): 218-229.
[7] McDermott, Josh H., Andriana J. Lehr, and Andrew J. Oxenham. “Individual differences reveal the basis of consonance.” Current Biology 20.11 (2010): 1035-1041.
[8] Koelsch, Stefan, et al. “Investigating emotion with music: an fMRI study.”Human brain mapping 27.3 (2006): 239-250.
来源：知乎 www.zhihu.com
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