Brinson绩效分解模型和应用

什么是绩效分解

在上一篇如何计算收益率中有一个例子，基金经理的表现挺好，但最后投资人的实际表现却相对较差。这意味着一项投资的最终表现依赖于多个影响因素，而绩效分解便是如何定量的将实际表现分解到这各个影响因素上去。

还有一些更复杂的情况。一个公司（以下分析可适用于整个证券公司的自营、一个国家的养老金、甚至一个个人投资者）投资行为如下。首先，这个公司会将可配置的资金分到各种大类资产，比如配置40%到股票交易部，配置60%到债券交易部。然后，股票部门会将资金配置到好几个投资经理，这些投资经理有些跟踪大盘股，有些专门做价值股；债券部分也一样，会配置到货币投资经理、企业债投资经理、高收益债券投资经理等等。这些投资经理都有各自跟踪的基准。这些配置还可能是动态调整的，比如公司可能在年中把更多资金配给股票部门，股票部门又把更多钱配给大盘股。

一年下来，公司最终的投资表现，比同类可比公司收益率要高10%，那么如何去理解这10%的超额收益：

各个投资经理的收益是来源于大盘上涨呢，还是来源于投资经理的个人能力（比如择时比较好，或者选择的股票比较好）。
部门收益来源于投资经理表现好呢，还是因为部门在各个板块上上的配置比较好（比如当年高配蓝筹股，恰好赶上蓝筹股的爆发上涨）。
公司的收益来源于部门表现好呢，还是因为在大类资产上配置得好（比如当年牛股熊债，恰好在股票上投入更多资源）。

这便是收益分解(performance attribution)所需要干的事情。

Brinson模型

Brinson模型是最常用的绩效分解模型，由Brinson和Fachler在论文《Measuring Non-US Equity Portfolio Performance》提出。它的一个最大的优点是简单直观，这个优点在实际操作中的重要性不用多说。

在介绍Brinson模型前，我们先简化问题。假设我们需要评估的是一个股票基金投资经理的表现，并且这个投资经理仅投资于国内的股票，并且一直保持满仓。我们想知道这个投资经理的收益来源多少来源于大盘（账户基准）的涨跌，多少来源于对行业的选择，多少来源于对个股的选择。这个场景虽然简单，但同样的思想和处理方式很容易扩展到其它场景。在第三部分我们将介绍这些扩展。

单期Brinson模型

这里的单期是指投资经理在这期间没有交易，没有现金流入和流出。

为此假设实际组合在这一期的收益率为\(r_p\)，各个行业的权重和收益率分别为\(w_{p,i}\)和\(r_{p,i}\)；同样时间内，账户基准的收益率为\(r_b\)，各个行业权重和收益率分别为\(w_{b,i}\)和\(r_{b,i}\)。

我们目前有两个资产组合，实际组合\(P\)和基准组合\(B\)。为了计算投资经理的资产配置收益和个股选择收益，我们建立两个虚拟组合，它们分别被称为配置组合\(A\)和选股组合\(S\)：

在配置组合里，我们只使用实际组合的资产配置权重，不考虑投资经理选股的差异；
在选股组合里恰好相反，组合的资产配置权重和基准一样，但每个行业里配置的股票和实际组合保持一致，即每个行业的收益率和实际组合一样。

我们可以建立以下表格：

基准行业权重
\(w_{b,i}\)实际行业权重
\(w_{p,i}\)基准行业收益率
\(r_{b,i}\)基准组合B
\(r_b=\sum r_{b,i}w_{b,i}\)配置组合A
\(r_a=\sum r_{b,i}w_{p,i}\)实际行业收益率
\(r_{p,i}\)选股组合S
\(r_s=\sum r_{p,i}w_{b,i}\)实际组合P
\(r_p=\sum r_{p,i}w_{p,i}\)

这样选股组合B和基准组合B的收益差异为组合的选股超额收益率\(r_{p,S}\)。配置组合A和基准组合B的收益差异即为组合的配置超额收益率 \(r_{p,A}\):

\[r_{p,S} = r_{s} – r_{b} = \sum (r_{p,i}-r_{b,i}) w_{b,i}\]

\[r_{p,A} = r_{a} – r_{b} = \sum (r_{b,i}-r_b)(w_{p,i}-w_{b,i})\]

将选股收益和配置收益之外的收益成为交叉收益(Interactive Return)，那么组合相对于基准的超额收益可分解为这三项之和：

\[\begin{array}{rcl}r_{p} – r_b &=& r_{p, S}+r_{p, A} + r_{p,I} \\ &=&\sum (r_{p,i}-r_{b,i}) w_{b,i} + \sum (r_{b,i}-r_b)(w_{p,i}-w_{b,i}) \\ &&+ \sum (r_{p_i} – r_{b_i}+r_b)(w_{p,i}-w_{b,i})\end{array}\]

而且，从这个式子可以看出，我们不单能得到组合整体的选股和配置收益率，我们还能得到具体是哪些行业配置得好，哪些行业选股选得好。

交叉收益的处理方式

在上面的分解中，交叉收益的出现极不直观。如果高配的行业同时表现好，低配行业表现差，将有比较高的交叉收益；如果相反，高配的行业表现不好，低配的行业表现好，交叉收益便会是负的。上面三个分解项中，这一项最让人困惑。

一种解决办法是，根据配置思路，将交叉收益合并到选股收益或者配置收益中去。

如果投资经理使用自下而上的配置方法，先选个股，再决定权重，那么交叉收益可合并到配置收益中去。这时候，配置收益为实际组合和选股组合的收益之差，含义为配置给选股组合所带来的超额收益。
如果投资经理使用自上而下的配置方法，先配置行业权重，再挑个股，那么交叉收益和合并到选股收益中去。这时候，选股收益为实际组合和配置组合的收益之差，含义为个股的选择在当前配置基础上所带来的超额收益。

通常来说，后面这种情况会比较多。

多期Brinson模型

上面只考虑了一期的情况，在这期间组合的各个行业的配置权重不变。而在实际投资中，由于投资经理的操作，外部现金流的流入流出，行业配置权重经常在改变。所以我们需要构建多期的Brinson模型。

思路和单期Brinson模型一模一样。假设实际组合在这一期的收益率为\(r_{t, p}\)，各个行业的权重和收益率分别为\(w_{t, p,i}\)和\(r_{t, p,i}\)；同样时间内，账户基准的收益率为\(r_{t, b}\)，各个行业权重和收益率分别为\(w_{t, b,i}\)和\(r_{t, b,i}\)。我们同样建立虚拟配置组合\(A\)和选股组合\(S\)。

基准行业权重
\(w_{t, b,i}\)实际行业权重
\(w_{t, p,i}\)基准行业收益率
\(r_{t, b,i}\)基准组合B
\(r_b=\prod_t (1+\sum_i r_{t,b,i}w_{t,b,i})-1\)配置组合A
\(r_a=\prod_t (1+\sum_i r_{t,b,i}w_{t,p,i})-1\)实际行业收益率
\(r_{t, p,i}\)选股组合S
\(r_s=\prod_t (1+\sum_i r_{t,p,i}w_{t,b,i})-1\)实际组合P
\(r_p=\prod_t (1+\sum_i r_{t,p,i}w_{t,p,i})-1\)

接下来分析思路和单期模型一样。配置组合和基准组合之间的差异为行业配置收益，选股组合和基准组合之间的差异为选股收益。

有一些细节需要处理。多期模型中存在现金流入流出，此时在计算收益率和权重时需考虑现金流的影响，一般地：