论文 Aumann, Robert (1976), Agreeing to disagree, Annals of Statistics, 4, 1236-1239.

知乎上有人提过相关问题：关于罗伯特·奥曼的论文《不一致的达成》怎样解读？ – 博弈论

假定参与人i 和j 对世界具有共同的先验概率估计。

定理：如果在状态\omega 下，参与人i 对事件E 的后验概率估计p_{i} 和参与人j 对事件E 的后验概率估计p_{j} 都是共同知识，那么p_{i}=p_{j}。

（一个事件F 是共同知识是指二人都知道F，二人都知道二人都知道F, 迭代无穷次…）

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我用一个现实里的例子作为背景，语言上则使用稍容易理解一点的type space model，而不是原文中的state space model。

假定两个投资者i 和j 同时考察一项投资，他们各自的考察会给自己带来一些只有自己知道的信息，我们分别记为t_{i}\in T_{i} 和t_{j}\in T_{j}，称为他们的信息类型。为简单起见，假定投资的收益只有高低两种可能，记为s\in S=\{H,L\}。

在考察前，二人对于可能发生的状态\omega=(t_{i},t_{j},s) 具有共同的先验概率估计p\in \Delta(T_{i}\times T_{j} \times S)。 对任意时间E，在考察获得各自的信息之后，二人分别通过贝叶斯法则得到对E 的后验（条件）概率估计，p_{i}=P(E|t_{i}) 和p_{j}=P(E|t_{j})。例如E 可以是投资收益为高（s=H）这一事件。

定理的重新陈述：如果在二人获取的信息分别为t_{i}, t_{j} , 投资真实收益情况为s，即世界的真实状态为\omega=(t_{i},t_{j},s)时，二人对高收益的后验概率估计p_{i}, p_{j} 都是共同知识，那么他们的概率估计一定相同。

这个定理说明人们没有办法 agree to disagree。为了理解这个结果，我们从理解什么时候i 的后验概率会是共同知识开始。简单的有两种情形：（1）i 获取的信息本身是共同知识；（2）i 具体获取到什么不一定是共同知识，但她 获取的信息与投资收益无关是共同知识。那更一般的思想是什么呢？

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Intuition：

假定T_{i}=\{1, 3, 5\}, T_{j}=\{2, 4, 6\}, 且给定共同的先验分布p, 当一个人的信息为整数k 时，对方的信息可能且仅可能为k-1 或者 k+1。

1 3 5

2 4 6

假定在世界的真实状态\omega 下，(t_{i}, t_{j})=(1, 2)。那么i 的后验概率估计为p_{i}=P(E|t_{i}=1)。为简化描述，将i 的后验概率为p_{i} 这一事件记做F。如果F是共同知识。那么：

1. 在\omega 下，j 知道自己的信息是t_{j}=2，却不知道i 的信息是 1 还是 3。那她又怎么会知道F呢？答案是，除非无论t_{i} 是j 认为可能的哪种信息，F 都发生，即除非p_{i}=P(E|t_{i}=1)=P(E|t_{i}=3)。

2. 在\omega下，t_{i}=1，于是i 知道t_{j}=2，进而知道j 知道F。（这一层没有新蕴涵的结果。）

3. 在\omega 下，j 不知道i 的信息是 1 还是3 。那她怎么才能知道i 一定知道她知道F呢？答案是，除非无论 i 的信息是1 还是3，这都成立。当t_{i}=3 时这成立的条件是j 的信息是2 和4 的时候j 都知道F，同上，这就要求p_{i}=P(E|t_{i}=3)=P(E|t_{i}=5)。

4. ……

从以上的思路我们已经可以看出来，在状态\omega下i 的后验概率为p_{i} （事件F ）是共同知识，除非i 的后验概率在很大集合的状态下保持不变–都是p_{i}。这个集合多大呢？至少需要是在\omega 下是共同知识。（上例中指t_{i}\in \{1, 3, 5\} 这一事件。）

换句话说，在状态\omega下i 的后验概率为p_{i} 是共同知识当且仅当i 在 某一个在\omega 下是共同知识的事件 上的后验概率都为p_{i}。蕴涵的意义是i考察到的关于投资收益的有用信息（即会影响到后验概率估计的部分）对于二人是共同知识；对j 同理。既然如此，二人的后验概率估计必然相同。严格的数学推导可见论文原文，非常简洁。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：知乎用户（登录查看详情）

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