看了半天没有一个满意的答案, 怒答一发.

不少学物理的人都觉得”物理意义”是一个没有良定义的概念, 而且由于这个词在民科之中极高的出场率, 导致大家对这个词都很反感. 但是, 这并不代表我们不能为复数在物理中的大量应用找到一个合理的, 足够”物理”的解释.

引入复数的一个很”物理”的原因是因为对称性.

大家最早在物理中接触复数, 基本都是在简谐振动那部分. 简谐振动的动力学方程是:
\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x =0
这个方程, 其实蕴含着SO(2)对称性.

为了看出这一点, 先注意到, 这个方程是一个二阶线性齐次方程, 在知道其初值条件(x(t_1), \dot{x}(t_1))之后就能求解初值问题, 得到轨迹(x(t_2), \dot{x}(t_2)). 考虑(x(t_1), \dot{x}(t_1))和(x(t_2), \dot{x}(t_2))之间的关系, 可以定义一个算符L(t_1, t_2), 这个算符作用在t=t_1时的初始条件(x(t_1), \dot{x}(t_1))上可以得到t=t_2时的位移和速度(x(t_2), \dot{x}(t_2)).

显然, L(t_1, t_2)满足的最简单的一个关系就是:L(t_2, t_3) \circ L(t_1, t_2) = L(t_1, t_3). 同时, 由于\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x =0这个方程满足时间平移对称性, 所以我们有:
L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1). 因此L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)满足的关系实际上是
l(\Delta_2) \circ l(\Delta_1) = l(\Delta_1 + \Delta_2).

我们都知道, 方程\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x =0的解有周期性, 也就是说L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)还满足
l(\Delta + 2 \pi / \omega) = l(\Delta). 对于\mathcal{L} = \{ l(\Delta)\}, l(\Delta_2)\circ l(\Delta_1) = l(\Delta_1 + \Delta_2)说明\mathcal{L}是个交换群, l(\Delta + 2 \pi / \omega) = l(\Delta)说明\mathcal{L}同构于SO(2), 也就是所谓的旋转群. 不仅如此, 由于方程\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x =0是齐次线性方程, 所以L(t_1, t_2) = l(t_2 - t_1)其实是\mathbb{R}上的2维线性空间(x(t), \dot{x}(t))上的线性变换.

到了这一步, 我们可以知道为什么要引入复数了. 因为首先复数本身可以看成\mathbb{R}上的2维线性空间, 并且SO(2)在复数域这个\mathbb{R}上的2维线性空间上有一个自然的表示: \{e^{i \theta}|\theta \in [0,2 \pi) \}在复数乘法下自然构成了一个同构于SO(2)的群. 所以用复数我们可以方便地表示简谐振动的解. 这件事严格来说是这样做的:

  1. 首先, (x(t), \dot{x}(t))作为一个\mathbb{R}上的2维的线性空间, 跟\mathbb{R}上的二维线性空间\mathbb{C}是同构的. 我们有同构映射f: \mathbb{R}^2 \to\mathbb{C}以及f^{-1}: \mathbb{C} \to\mathbb{R}^2.
  2. 其次, \mathcal{L} = \{ l(\Delta)\}同构于\{e^{i \theta}|\theta \in [0,2 \pi) \}, 有同构映射g: \mathcal{L} \to \{e^{i \theta}|\theta \in [0,2 \pi) \}. 有g(l(\Delta))=e^{i \omega \Delta}. 我们希望g是由f“生成”的, 也就是说f \circ l(t) \circ f^{-1} = g(l(t)). 我们可以取f((x(t), \dot{x}(t)) = i \omega x(t) + \dot{x}(t)
  3. 对于一个初始条件(x(0), \dot{x}(0)), 有(x(t), \dot{x}(t)) = l(t) (x(0), \dot{x}(0)).
  4. 对于\forall \bm{x} \in \mathbb{R}^2, l(t) \bm{x} = l(t) \circ f^-1 \circ f \bm{x} = f^-1 \circ (f \circ l(t) \circ f^-1) f \bm{x} = f^-1 \circ g(l(t)) \circ f \bm{x}
  5. 所以, 我们可以写出简谐振动的解, 为:i \omega x(t) = \text{Im}(e^{i \omega t}(i \omega x(0) + \dot{x}(0))以及\dot{x}(t) = \text{Re}(e^{i \omega t}(i \omega x(0) + \dot{x}(0)).

这就是好几个高票答案所谓的”复数表示旋转”的一个本质原因.

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上面有个回答我引用一下:

没有复数，大不了实部虚部分开写，矩阵阶数乘二而已，物理该咋办还是咋办。

这个答案的答主作为一个学物理的学生, 这样的理解是不合格的. 复数域在ta的眼里, 只是\mathbb{R}上的一个2维线性空间而已, 而复数域作为一个域的代数结构完全被ta忽略掉了. 如果真是这样, 那么我们无法说明用复数表示振动的合理性.
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量子力学里引入复数, 虽然说历史上似乎是因为量子力学跟波动方程的关系引入的, 但是本质的原因不太一样. 从对称性的角度上来说, 经典量子力学里的对称性是Unitary对称性, 相应对称群是U(n). 而最简单的情形U(1)群跟SO(2)恰好有很紧密的联系, 在复数上表示也很方便.

从物理的角度看, 用复数表示还是用矩阵表示其实不重要, 重要的是代数结构, 或者说描述对称性的对称群在什么代数结构上表示比较方便. 所以, 真正的问题不是”复数对于物理有什么意义”, 而是”复数域这个代数结构对物理有什么意义’, 这样的代数结构包含了怎样的对称性?

但是这个问题其实也还没有回答完. 物理中其实有着更复杂的对称群, 为什么人们”止步”于复数域 (就是说更复杂的对称群一般考虑在\mathbb{C}上的线性空间上的表示)呢?

其实, 还真的有引入比复数域更复杂的代数结构来研究比SO(2)更复杂的对称性问题的例子, 比如著名的四元数, 可以用来研究三维旋转问题(SO(3)群的表示). 但是, 这些比复数域更复杂的代数结构一般来说其性质远没有复数域那么好, 比如四元数虽然是个除环, 但是不是域, 乘法不可交换.

这就说明了为什么物理中要引入复数域, 并且”止步”于复数域. 复数域上一些基本的对称群有自然的表示, 并且复数域的代数性质和分析性质都非常非常好, 所以物理学很自然地需要这个代数结构.

以上.

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Octolet

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